川沙中學(xué) 2018 學(xué)年高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷
一、填空題（每題 3 分）
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1.?設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為? .
?
2.?已知復(fù)數(shù)?z?=?1?+?3i?（?i?為虛數(shù)單位），則它的虛部為? .
?
3.?若復(fù)數(shù)?z?滿足2z?-?3?=?1?+?5i?（?i?是虛數(shù)單位），則?z?=?? .
?
4.?設(shè)?m???R?，若復(fù)數(shù)?z?=?(1?+?mi)(1?+?i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則?m?= .
?
5.?
將橢圓的參數(shù)方程ì?x?=?2?cosq??（q為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為普通方程? .
???y?=????3?sinq
?
2
x2 -?2
?
6.?已知拋物線 y
?
? .
=?8x 的焦點(diǎn)與雙曲線
a2
y =?1 的右焦點(diǎn)重合，則雙曲線的漸近線方程為
?
7.?已知圓?x2?+?y2 ?=?5?和點(diǎn)?A(2,?-1)，則過點(diǎn)?A?的圓的切線方程為.?
?
8.?
若復(fù)數(shù) z?=?x?+?yi?(x, y???R)復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線3x?+?4?y?-?15?=?0?上，則 z?的最小值是
?
? .
?
9.?已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)躡水面?2 米時(shí)，量得水面寬為?8 米，當(dāng)水面下降?1 米后，水面的寬為? 米.
?
x2
10.?
已知橢圓 a2
y =?1(a >?0)上的一點(diǎn) P 也在拋物線 y
3
2 =?9 x 上，設(shè)拋物線焦點(diǎn)為 F ，若
4
PF?=?25?，則?a?= .
16
?
11.?已知a是實(shí)系數(shù)一元二次方程 x2?-?(2m?-?1)x?+?m2?+?1?=?0?的一個(gè)虛數(shù)根，且 a?￡?2?，則實(shí)
?
數(shù)?m?的取值范圍是? .
?
x2 2
M 滿足：
=?2MF1?×?MF2?，則?MF1?+?2MF2?的最大值為? .
二、選擇題（每題 3 分）
13.?在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中，假命題的是（ ）
A.若?z?為實(shí)數(shù)，則?z?=?z B.若?z?=?z?，則?z 為實(shí)數(shù)
?
C.若?z?×?z?為實(shí)數(shù)，則?z?為實(shí)數(shù) D.若?z?為實(shí)數(shù)，則?z?×?z?為實(shí)數(shù)
?
14.?當(dāng)?ab?<?0?時(shí)，方程?ax2?-?ay2 ?=?b?所表示的曲線是（ ）
?
A.焦點(diǎn)在?x?軸的橢圓上 B.焦點(diǎn)在?x?軸的雙曲線
?
C.焦點(diǎn)?y?在軸的橢圓 D.焦點(diǎn)在?y?軸的雙曲線
15.?若實(shí)系數(shù)一元二次方程 z2?+?z?+?m?=?0?有兩虛數(shù)根a、b，且 a- b?=?3?，那么實(shí)數(shù) m?的值
?
是（ ）
?
A. 5
2
?
B.1
?
C.?-1
D.?-?5
2
16.已知點(diǎn) A(1, -2)， B (2, 0)， P 為曲線 y =
?
上任意一點(diǎn)，則 AP ×?AB 的取值范圍為
?
（ ）
?
A.?[-1,?7]
B. [1, 7]
C. é-1, 3 +?2 3ù
D. é1, 3 +?2 3ù
?
三、解答題（第 17 題共 8 分，第 18 題共 8 分，第 19 題共 10 分，第 20 題共 12 分，第 21
題共 14 分）
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17.?設(shè) z 為關(guān)于 x?的方程 x2?+?mx?+?n?=?0?， m, n???R?的虛根， i?為虛數(shù)單位.
?
（1）?當(dāng) z?=?1?+?i?時(shí)，求 m、n?的值；
?
（2）?在（1）的條件下，若w=?n?+?ai, (a???R)， w?￡?3?，求 a?的取值范圍。
?
?
?
?
?
?
?
?
18.?已知?jiǎng)狱c(diǎn) M?(x, y?)到點(diǎn) F?(2, 0)的距離為 d1?，動(dòng)點(diǎn) M?(x, y?)到直線 x?=?3?的距離為 d2?，且
?
d1 ??= 6?.
d2 3
（1）?求動(dòng)點(diǎn) M (x, y?)的軌跡C?的方程；
（2）?若直線l?: y?=?x?-?2?交曲線C?于 P、Q?兩點(diǎn)，求DOPQ?的面積。
解：
?
?
19.?已知雙曲線C?: x2?-?y2?=?1?.
?
（1）?若經(jīng)過點(diǎn) P?(0, -1)的直線l?與雙曲線C?的右支交于不同兩點(diǎn) M、N?，求直線l?的斜率
?
的取值范圍；
?
（2）?在（1）的條件下，求線段 MN?的中垂線l￠?在 y?軸上的截距t 的取值范圍.
?
解：
?
?
?
?
?
?
20.?
如圖，已知滿足條件?z?-?3i?= -?i?（其中i?為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)?z 在復(fù)平面?xOy?上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?Z?(x,?y?)的軌跡為圓C?（圓心為C?），定直線?m?的方程為?x?+?3y?+?6?=?0?，過?A(-1,?0)斜
率為 k 的直線l 與直線 m 相交于 N 點(diǎn)，與圓C 相交于 P、Q 兩點(diǎn)， M 是弦 PQ 中點(diǎn).
?
?
（1）?若直線l?經(jīng)過圓心C?，求證： l?與 m 垂直；
?
（2）?
當(dāng) PQ =?2
時(shí)，求直線l 的方程；
?
?
?
（3）?設(shè)t?=?AM?×?AN?，試問t?是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出t 的值，若t 不為定值，請(qǐng)說
?
明理由. 解：
?
?
?
?
?
?
21.?給出定理：在圓惟曲線中， AB 是拋物線G?: y2?=?2?px?(p?>?0)的條弦，
C 是 AB 的中點(diǎn)，
?
過點(diǎn)C 且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為 D .若 A、B 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值
yA -?yB
=?a (a >?0)， x?則
DADB 的面積 D SDADB =
a3
?
16?p
，試運(yùn)用上述定理求解以下各題：
（1）?若 p =?2?， AB?所在直線的方程為 y?=?2x?-?4?， C?是 AB?的中點(diǎn)，過C?且平行于 x?軸的
?
直線與拋物線G?的交點(diǎn)為 D ，求 SDADB ；
?
（2）?已知 AB?是拋物線G?: y2?=?2?px?(p?>?0)的一條弦， C?是 AB?的中點(diǎn)，過點(diǎn)C?且平行于
?
x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為 D ， E、F 分別為 AD 和 BD 的中點(diǎn)，過 E、F 且平行于 x 軸的直線與拋物線G?: y2 =?2 px (p >?0)分別交于點(diǎn) M、N ，若 A、B 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值
yA -?yB
=?a (a >?0)，求 SDAMD 和 SDBND ：
?
-
請(qǐng)你在上述問題的啟發(fā)下，設(shè)計(jì)一種方法求拋物線： y2?=?2?px?(p?>?0)與弦 AB?圍成
?
成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.
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