2021學(xué)年高一下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（一）
一、單選題
1．數(shù)列
，3，
，
，…，則
是這個(gè)數(shù)列的第（????）
A．8項(xiàng) B．7項(xiàng) C．6項(xiàng) D．5項(xiàng)
【答案】C
【解析】根據(jù)已知中數(shù)列的前若干項(xiàng)，我們可以歸納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于
的方程，解方程得到答案．
【詳解】
解：數(shù)列
，3，
，
，
，
可化為：數(shù)列
，
，
，
，
，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：
，
當(dāng)
時(shí)，則
，
解得：
，
故
是這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng).
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中根據(jù)已知?dú)w納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是解答的關(guān)鍵．
2．式子
的值為（????）
A．
B．0 C．1 D．
【答案】D
【解析】利用兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查兩角和與差的余弦公式，特殊角的三角函數(shù)求值，考查計(jì)算能力．
3．等比數(shù)列
中，
，則
（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，若
，則
，將已知條件代入運(yùn)算即可.
【詳解】
解：因?yàn)榈缺葦?shù)列
中，
，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得
，
所以
，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.
4．設(shè)等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
（????）
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】B
【解析】根據(jù)等差數(shù)列的等和性與前
項(xiàng)和的公式求解即可.
【詳解】
由
得,即
故
.
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等差數(shù)列的等和性與前
項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.
5．設(shè)
，則
（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根據(jù)輔助角公式、誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：因?yàn)?/span>
，根據(jù)輔助角公式化簡得：
，
即：
，
又因?yàn)?/span>
，
即：
.
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的輔助角公式、誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．
6．某船在海平面
處測得燈塔
在北偏東60°方向，與
相距6千米處該船由
處向正北方向航行8千米到達(dá)
處，這時(shí)燈塔
與船相距（????）
A．
千米 B．
千米 C．6千米 D．8千米
【答案】A
【解析】由題意畫出示意圖，利用余弦定理解三角形即可求得結(jié)果．
【詳解】
解：由題意，示意圖如下：
已知
，
，
，
由余弦定理得：
，
所以
．
所以燈塔
與船之間的距離為：
千米.
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
7．函數(shù)
的最小值為（????）
A．
B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】根據(jù)二倍角的余弦公式化簡得函數(shù)
，且
，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得
的最小值，從而求得結(jié)果．
【詳解】
解：
函數(shù)
，
而
，則
，
故當(dāng)
時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2，
函數(shù)
的最小值為-2.
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，以及二倍角的余弦公式的應(yīng)用，還利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)最值．
8．已知
終邊與單位圓的交點(diǎn)
，則
的值等于（????）
A．
B．
C．3 D．
【答案】C
【解析】先根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義判斷角
所在的象限，得出
，再對(duì)所求式子利用二倍角公式化簡即可．
【詳解】
解：
終邊與單位圓的交點(diǎn)
，可知
為第二象限角，
則
，
由于
.
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角正弦、余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力．
9．在△ABC中，角
的對(duì)邊分別是
，若
，
，則
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵在
中
，∴由正弦定理可得
①，又∵
，∴
②，由①②可得
，可得
，故選B.
10．?dāng)?shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
（ ）
A．20 B．15 C．10 D．-5
【答案】A
【解析】試題分析：當(dāng)
時(shí)，
適合上式，
所以
，所以
因?yàn)?/span>
，所以
，選A
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)
11．在
中，
邊上的高等于
，則
（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知，結(jié)合勾股定理和余弦定理，求出
，
，再由三角形面積公式，可得
．
【詳解】
解：
在
中，
，
邊上的高等于
，
，
由余弦定理得：
，
故
的面積為：
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中的幾何計(jì)算，涉及余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，考查化簡計(jì)算能力．
12．在
中，已知
，給出以下四個(gè)論斷
①
②
③
④
其中正確的是（????）
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
【答案】A
【解析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理題設(shè)等式求得
進(jìn)而求得
進(jìn)而求得①
等式不一定成立，排除①；利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，得②正確；
不一定等于1，排除③；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知
，進(jìn)而根據(jù)
可知
，進(jìn)而可知二者相等，得④正確．
【詳解】
解：
，
，
，
則：
，即：
，
整理求得
，
，
不一定成立，①不正確；
，
由于
，則：
，
，
，所以②正確；
，
，
所以
，所以④正確；
而
不一定成立，故③不正確；
綜上知②④正確.
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角關(guān)系等知識(shí)的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和推理運(yùn)算能力．
二、填空題
13．已知
中，
，那么
________．
【答案】45°
【解析】直接利用正弦定理即可得解．
【詳解】
解：由正弦定理可得：
，
即
，
又因?yàn)?/span>
，
即
，則
，
所以
.
故答案為：
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
14．等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
________．
【答案】18
【解析】根據(jù)題意，由
成等差數(shù)列，列方程組，解方程即可得出
的值.
【詳解】
解：由題可知，
為等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，
成等差數(shù)列，
即：
，
因?yàn)?/span>
，
則：
，
解得：
.
故答案為：18.
【點(diǎn)睛】
本題考查等差數(shù)列前
項(xiàng)和的性質(zhì)和等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.
15．若
，則
________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，將兩個(gè)式子同時(shí)兩邊平方得
，再兩式相加，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和兩角和與差的正弦公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
解：由題知，
，
則
即：
則①+②得：
，
解得：
，
則
.
即：
.
故答案為：
.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)求值，涉及了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用.
16．設(shè)函數(shù)
，其中
，若
且圖象的兩條對(duì)稱軸間的最近距離是
．若
是
的三個(gè)內(nèi)角，且
，則
的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】利用兩角差的余弦函數(shù)公式及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求
，
，結(jié)合范圍
，可求
，由題意可求周期為
，利用周期公式可求
，從而可得函數(shù)解析式，由題意可得
，結(jié)合范圍
，可解得
，從而
，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可將
化為
，結(jié)合范圍
，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求其取值范圍．
【詳解】
解：由題知，
，
，得
，
，
，
取
，得
，
函數(shù)
圖象的兩條對(duì)稱軸間的最近距離是
，
周期為
，得
，
得
．
由
，得
，
是
的內(nèi)角，
，
，得
，
，從而
．
由
，?
，
，
，即
，
，
因此，
的取值范圍是
．
故答案為：
.
【點(diǎn)睛】
本題考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，周期公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想．
三、解答題
17．計(jì)算：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；?（2）0.
【解析】（1）根據(jù)
，結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡即可求得答案.
（2）根據(jù)兩角和與差的正切公式求得
，進(jìn)而代入化簡即可得出答案.
【詳解】
解：（1）由
．
；
（2）由
，
可得
，
所以
，
故原式
.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡求值，涉及兩角和與差的正弦公式和兩角和與差的正切公式的應(yīng)用，考查化簡求值能力.
18．如圖，在
中，已知
，
是
邊上的一點(diǎn)，
，
，
.
（1）求
的面積；
（2）求邊
的長.
【答案】（1）
；（2）
【解析】分析：（1）在
中，根據(jù)余弦定理求得
，然后根據(jù)三角形的面積公式可得所求．（2）在
中由正弦定理可得
的長．
詳解：（1）在
中，由余弦定理得
，
∵
為三角形的內(nèi)角，
， ???
?
，
?
．
（2）在
中，
，
由正弦定理得：
∴
．
點(diǎn)睛：解三角形時(shí)首先要確定所要解的的三角形，在求解時(shí)要根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)判斷使用正弦定理還是余弦定理以及變形的方向，另外求解時(shí)注意三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)的靈活應(yīng)用．
19． ???已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=
，設(shè)bn=
，n∈N．
（1）證明{bn}是等比數(shù)列（指出首項(xiàng)和公比）；
（2）求數(shù)列{log2bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【答案】（1）見解析；（2）Tn=
.
【解析】【詳解】試題分析：（1）由an+1=
，得
=2·
，再利用等比數(shù)列的定義即可得出．
（2）由（1）求出通項(xiàng)得log2bn=log2?2n-1=n-1，利用等差數(shù)列求和即可.
試題解析：
（1）由an+1=
，得
=2·
．所以bn+1=2bn，即
．
又因?yàn)?/span>b1=
，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知bn=1·2n-1=2n-1，所以log2bn=log2?2n-1=n-1．
則數(shù)列{log2bn}的前n項(xiàng)和Tn=1+2+3+…+（n-1）=
．
點(diǎn)睛：證明等比數(shù)列的一把方法有兩個(gè)：
(1).定義法，即
;
(2).等比中項(xiàng)法：
.
20．已知函數(shù)
．
（1）求
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在
中，內(nèi)角
的對(duì)邊分別為
，已知
成等差數(shù)列，且
，求邊
的值．
【答案】（1）
；?（2）
.
【解析】（1）首先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，將函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，利用整體代入法，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（1）結(jié)合
，求得
，利用余弦定理即可求出邊
的值．
【詳解】
（1）
，
令
．
則
．
的單調(diào)增區(qū)間為
（2）由
，得
，
，
，
，
又
由余弦定理得
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力．
21．已知
分別是
角
的對(duì)邊，滿足
（1）求
的值；
（2）
的外接圓為圓
(
在
內(nèi)部)，
，判斷
的形狀，并說明理由.
【答案】（1）
；（2）等邊三角形.
【解析】試題分析：（I）根據(jù)正弦定理把
化成邊的關(guān)系可得
，約去
，即可求得
；（II）設(shè)
中點(diǎn)為
，故
,圓
的半徑為
,由正弦定理可知
,所以
,再根據(jù)余弦定理求得
，據(jù)此判斷出三角形性質(zhì).
試題解析：（I）由正弦定理可知,
, 則
,
,
可得
.
（II）記
中點(diǎn)為
，
故
,圓
的半徑為
,
由正弦公式可知
,故
,
由余弦定理可知,
, 由上可得
,又
,則
,故
為等邊三角形.
【考點(diǎn)】正弦定理、余弦定理解三角形.
22．某市為了改善居民的休閑娛樂活動(dòng)場所，現(xiàn)有一塊矩形
草坪如下圖所示，已知：
米，
米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路
、
和
，要求點(diǎn)
是
的中點(diǎn)，點(diǎn)
在邊
上，點(diǎn)
在邊
時(shí)上，且
.
（1）設(shè)
，試求
的周長
關(guān)于
的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為
元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用.
【答案】（1）
，定義域?yàn)?/span>
；
（2）當(dāng)
米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為
元．
【解析】（1）利用勾股定理通過
，得出
，結(jié)合實(shí)際情況得出該函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)
，由題意知，要使得鋪路總費(fèi)用最低，即為求
的周長
最小，求出
的取值范圍，根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性可得出
的最小值.
【詳解】
（1）由題意，在
中，
，
，
，
，
中，
，
，
，又
，
，
所以
，即
.
當(dāng)點(diǎn)
在點(diǎn)
時(shí)，這時(shí)角
最小，求得此時(shí)
；
當(dāng)點(diǎn)
在
點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角
最大，求得此時(shí)
.
故此函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
；
（2）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只需要求
的周長
的最小值即可．
由（1）得
，
，
設(shè)
，
，
則
，
由
，得
，
，則
，
從而
，當(dāng)
，即當(dāng)
時(shí)，
，
答：當(dāng)
米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為
元．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也考查了正弦定理、勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)解析式，并利用合適的方法求解，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.
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