專題15最短路徑問(wèn)題

模型一. 兩點(diǎn)之間，線段最短

模型二. “將軍飲馬”

模型三. 雙動(dòng)點(diǎn)

模型四. 垂線段最短

【例1】（2019·河南南陽(yáng)一模）如圖，已知一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸、y軸交于點(diǎn)A、C，與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，且△ABP的面積為9.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；

（2）已知點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=的圖象上，其橫坐標(biāo)為6，在x軸上確定一點(diǎn)M，是的△PQM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得A、C坐標(biāo)，由S_△ABP=·AB·BP=9，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+2），代入得到點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，作Q點(diǎn)（或P點(diǎn)）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q’（P’），連接PQ’（QP’）與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，用待定系數(shù)法求出直線PQ’（QP’的解析式）.

【解析】解：（1）在y=x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2；y=0時(shí)，x=－4，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（－4,0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2），

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+2），m>0，

則AB=m+4，BP=m+2,

∵S_△ABP=·AB·BP=9，

即×（m+4）（m+2）=9，

解得：m=2或m=－10（舍），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）；

（2）如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q’，連接PQ’交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)，△PQM的周長(zhǎng)最小，

由（1）知，P(2,3)在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=6，

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6,1），點(diǎn)Q’的坐標(biāo)為（6，－1），

設(shè)直線PQ’的解析式為：y=mx+b，

得：，

解得：，

即直線PQ’的解析式為：y=－x+5，

當(dāng)y=0時(shí)，x=5，即M點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0），

∴當(dāng)△PQM的周長(zhǎng)最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）.

【變式1-1】（2017·新野一模）已知拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0），C三點(diǎn)．直線y=mx+交拋物線于A，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PN=2NF，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0），

∴，

解得a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+2．

（2）直線y=mx+交拋物線與A、Q兩點(diǎn)，

將A（﹣1，0）代入得：m=，

∴直線AQ的解析式為y=x+．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n²+n+2），N（n，n+），F（n，0），

∴PN=﹣n²+n+2﹣（n+）

=﹣n²+n+，

NF=n+，

∵PN=2NF，即﹣n²+n+=2×（n+），

解得：n=﹣1或．

當(dāng)n=﹣1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，舍去．

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

（3）∵y=﹣x²+x+2，=﹣（x﹣）²+，

∴M（，）．

∵A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱，

∴連接AM交直線DE與點(diǎn)G，連接CG、CM，此時(shí)，△CMG的周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b，

將A（﹣1，0），M（，）代入并解得：

k=，b=，

∴直線AM的函數(shù)解析式為y=x+，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴D（﹣，1）．

可得直線AC的解析式為：y=2x+2，直線DE的解析式為y=﹣x+．

將y=﹣x+與y=x+聯(lián)立，

解得：x=﹣，y=．

∴在直線DE上存在點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，G（﹣，）．

【變式1-2】（2019·三門(mén)峽二模）已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1，△CDE的形狀是???????三角形．

（2）探究證明

如圖2，當(dāng)6＜m＜10時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1 ???????????????????????圖2

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】解：（1）證明：

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等邊三角形；

故答案為：等邊；

（2）存在，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE＝AD，

∴C_△DBE＝BE+DB+DE

＝AB+DE

＝4+DE，

由（1）知，△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD，

∴C_△DBE＝CD+4，

由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)最小，

此時(shí)，CD＝2，

∴△BDE的周長(zhǎng)最小值為：2+4.

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